任意軸周りの回転
このページではスピン 1/2 演算子による任意軸周りの回転演算子を導出する。
記号の準備
| x,y,z方向のスピン演算子 |
\(I_x, I_y, I_z\) |
| 2x2の単位行列 |
\(I\) |
| 3次元の単位ベクトル |
\(\b{n} = (n_x, n_y, n_z)\) |
このページでは \(\hbar = 1\) とする単位系を採用し、\(I_x, I_y, I_z\) は固有値 \(\pm 1/2\) を持つ演算子とする。
公式
\(\b{n}\) 方向を軸とした \(\theta\) 回転を表す演算子である \(e^{i\theta (n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)}\) について、以下の公式を導出するのがこのページの目的である。
\[e^{i\theta (n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)} = I \cos\frac{\theta}{2} + i2(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z) \sin\frac{\theta}{2}\]
導出
一つ一つ計算をしていけば導出できる。まず、
\[(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)^2 = \frac{1}{4} I\]
であることに注意しよう。これを用いれば、以下のように導出できる。
\begin{align}
e^{i\theta (n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)}
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(i\theta)^k}{k!}(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)^k \\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(i\theta)^{2k}}{(2k)!}(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)^{2k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{(i\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!}(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)^{2k+1}\\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(i\theta)^{2k}}{(2k)!}\left(\frac{1}{4}I\right)^k + \sum_{k=0}^\infty \frac{(i\theta)^{2k+1}}{(2k+1)!}\left(\frac{1}{4}I\right)^k(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)\\
&= I\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(\theta/2)^{2k}}{(2k)!} +i 2(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(\theta/2)^{2k+1}}{(2k+1)!}\\
&= I \cos\frac{\theta}{2} + i2(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z) \sin\frac{\theta}{2}
\end{align}
以上。