角運動量演算子の回転
このページでは、\(e^{-i\theta I_z}I_x e^{i\theta I_z}\) の公式と、簡単な導出を示す。
記号の準備
| x,y,z方向の角運動量演算子 |
\(I_x, I_y, I_z\) |
このサイトでは \(\hbar = 1\) とする。
公式
このページでは、以下の公式を導く。
\[e^{-i\theta I_z}I_x e^{i\theta I_z} = I_x \cos\theta + I_y \sin\theta\]
この式は x, y, z を巡回させても成り立つ。
導出
導出には、アダマール公式
\[e^A B e^{-A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \underbrace{[A,[A,\cdots,[A}_n,B]\cdots]\tag{1}\]
を使う。以下、\(A\) と交換子をとるという作用をする演算子 \(\ad_A\),
\[\ad_A B= [A,B]\tag{2}\]
を用いる。
また、角運動量演算子の交換関係が
\begin{align}
\ad_{l_z}l_x &= [l_z,l_x] = il_y\\
\ad_{l_z}^2l_x &= [l_z,[l_z,l_x]] = i[l_z,l_y] = i (-il_x) = l_x
\end{align}
となっていることも用いる。
数式を追うだけで導けるので、以下に一気に計算過程を示す。
\begin{align}
\exp\left(-i\theta I_z\right)I_x\exp\left(i\theta I_z\right)
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^n}{n!} \ad_{I_z}^n I_x\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^{2n}}{(2n)!} \ad_{I_z}^{2n} I_x+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!} \ad_{I_z}^{2n+1} I_x\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^{2n}}{(2n)!} I_x+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!} (iI_y)\\
&=I_x\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^{2n}}{(2n)!}+iI_y\sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
&=I_x\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!}+I_y\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
&=I_x\cos\theta + I_y\sin\theta
\end{align}
角運動量演算子に慣れる良い練習になると思うので、ぜひ自分で計算してみてほしい。