ラビ振動
ラビ振動は量子制御でもっとも基本となる現象である。量子力学的な2準位系に、準位間のエネルギー差に相当する周波数で力を与えると、量子状態が2準位の間を行ったりきたりする現象をラビ振動と呼ぶ。このページでは、スピン量子数 1/2 のスピンが、静磁場下で振動磁場にさらされたときのラビ振動を導出する。
記号の準備
| x,y,z方向のスピン演算子 |
\(I_x, I_y, I_z\) |
| 恒等演算子 |
\(I\) |
| \(I_z\) の固有状態 |
\begin{align}
I_z\ket{0} &= \frac{1}{2} \ket{0}\\
I_z\ket{1} &= -\frac{1}{2} \ket{1}
\end{align}
|
| スピンの磁気回転比 |
\(\gamma\) |
| スピンの磁気モーメント |
\(\b{\mu} = \gamma\b{I}\) |
| 静磁場の大きさ |
\(B_0\) |
| スピンの共鳴周波数 |
\(\omega_0 = \gamma B_0\) |
| 振動磁場の振幅 |
\(B_1\) |
| 振動磁場の周波数 |
\(\omega\) |
| 振動磁場強度の周波数換算値 |
\(\omega_1 = \gamma B_1/2\) |
このサイトでは \(\hbar = 1\) とする単位系を採用し、\(I_x, I_y, I_z\) は固有値 \(\pm 1/2\) を持つ演算子とする。
静磁場下のハミルトニアン
一般に磁場\(\b{B}\)中に置かれた磁気双極子モーメント\(\b{\mu}\)は
\[H = -\b{B}\cdot\b{\mu}\]
のエネルギー (ハミルトニアン) を持つ。したがって、大きさ\(B_0\)の磁場をz方向に掛けたときのハミルトニアンは、
\[H = -\gamma B_0 I_z\]
である。双極子モーメントのエネルギーがこのように表せることは他で調べてほしい。
静磁場+振動磁場のハミルトニアン
静磁場と垂直方向に振動磁場を加えることで、ラビ振動を引き起こせる。ここでは x 方向に振動磁場 \(B_1\cos \omega_1 t\) を与えたとしよう。上と同じように考えると、このときのハミルトニアンは
\[H(t) = -\gamma B_0 I_z - \gamma B_1 I_x\cos \omega t \]
である。この先の簡単のために、\(\omega_0\), \(\omega_1\)を使って書き換えておこう。
\[H(t) = -\omega_0 I_z - 2\omega_1 I_x\cos \omega t \tag{1}\]
スピン状態\(\ket{\psi}\)は、このハミルトニアンに対するシュレディンガー方程式
\[i\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)} = H(t)\ket{\psi(t)}\tag{2}\]
によって時間変化する。この微分方程式を解くと、ラビ振動の様子を知ることができる。
回転座標系
実は上のシュレディンガー方程式は、そのままでは解析的に解くことができない。しかし、量子系の 回転座標系 に移った後、激しく振動する項を無視する 回転波近似 をすることによって、解析解が得られる形になる。そこでここではまず、シュレディンガー方程式 (2) を回転座標系に書き換えることをする。
静磁場中のラーモア歳差運動をあらかじめ取り入れておくような変数変換をすることで、問題の見通しを良くしようというのが回転座標系の基本的な考え方である。静磁場のみが存在するときのスピン状態を\(\ket{\psi(0)}\)とすれば、これは
\[i\frac{d}{dt}\ket{\psi_0(t)} = -\omega_0 I_z \ket{\psi_0(t)}\]
にしたがって時間発展する。この方程式の解は簡単にもとまり、
\[\ket{\psi_0(t)} = e^{i\omega_0 I_z t}\ket{\psi_0(0)}\]
である。そこで、この時間変化をあらかじめ組み入れた状態ベクトル
\[\ket{\tilde{\psi_0}(t)} = e^{-i\omega_0 I_z t}\ket{\psi_0(t)}\]
を用意してやれば、この状態ベクトル \(\ket{\tilde{\psi_0}(t)}\) は初期状態から変化しない。\(\ket{\tilde{\psi_0}(t)}\) がラーモア周波数で回転する回転座標系からみた状態ベクトルだ。
もちろん、回転座標系の周波数のとり方は任意である。自分に都合の良い周波数を設定して構わない。NMR など量子系を制御する場合には、こちらから系に印加する周期的な力の周波数で回転座標系を考えることが多い。実験のセットアップ上、実質的にそのような座標系から量子系を眺めることになるからだ。
さて、一般の回転座標系の話をしよう。回転座標系の周波数を \(\omega_{ref}\) とすると、回転座標系の状態ベクトルは
\[\ket{\tilde{\psi}(t)} = e^{-i\omega_{ref} I_z t}\ket{\psi(t)}\]
と書ける。シュレディンガー方程式 (2) に代入し、\(\ket{\tilde{\psi}(t)}\) に関する微分方程式を導出すると
\begin{align}
i\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)} &= H(t)\ket{\psi(t)}\tag{2} \\
i\frac{d}{dt}\left(e^{i\omega_{ref} I_z t}\ket{\tilde{\psi}(t)}\right) &= H(t)\left(e^{i\omega_{ref} I_z t}\ket{\tilde{\psi}(t)}\right)\\
ie^{i\omega_{ref} I_z t}\left(i\omega_{ref} I_z\ket{\tilde{\psi}(t)} + \frac{d}{dt}\ket{\tilde{\psi}(t)}\right) &= H(t)e^{i\omega_{ref} I_z t} \ket{\tilde{\psi}(t)}
\end{align}
よって
\[i\frac{d}{dt}\ket{\tilde{\psi}(t)} = \left(e^{-i\omega_{ref} I_z t}H(t)e^{i\omega_{ref} I_z t} + \omega_{ref} I_z\right)\ket{\tilde{\psi}(t)} \tag{3}\]
が得られる。
回転座標系のハミルトニアン
回転座標系の状態ベクトル \(\ket{\tilde{\psi}(t)}\) が従う微分方程式をみると、
\[\tilde{H}(t) = e^{-i\omega_{ref} I_z t}H(t)e^{i\omega_{ref} I_z t} + \omega_{ref} I_z \tag{4}\]
と定義すれば、
\[i\frac{d}{dt}\ket{\tilde{\psi}(t)} = \tilde{H}(t)\ket{\tilde{\psi}(t)} \tag{5}\]
と、シュレディンガー方程式と全く同じ形になることがわかる。そこで \(\tilde{H}(t)\) は回転座標系のハミルトニアンと呼ばれる。
今回考えている系で \(\omega_{ref} = \omega\) としたときの \(\tilde{H}(t)\) を計算してみよう。
\begin{align}
\tilde{H}(t) &= e^{-i\omega I_z t}\left(-\omega_0 I_z - 2\omega_1 I_x\cos \omega t\right)e^{i\omega I_z t} + \omega I_z \\
&= -(\omega_0-\omega) I_z-2\omega_1 e^{-i\omega I_z t} I_x e^{i\omega I_z t} \cos \omega t
\end{align}
ここで
角運動量演算子の回転公式 を使って
\[\tilde{H}(t) = -(\omega_0-\omega) I_z -2\omega_1 \left(I_x\cos\omega t + I_y \sin\omega t\right)\cos\omega t \tag{6}\]
を得る。
回転波近似
次に上で得られたハミルトニアンに対して回転波近似を行う。回転座標系のハミルトニアン (6) を激しく振動する項とそうでない項に分け、振動する項は平均化されて影響を与えないとして無視してしまうのが回転波近似だった。そこでまずハミルトニアンに含まれている項を分けると、
\begin{align}
\tilde{H}(t) &= -(\omega_0-\omega) I_z - 2\omega_1 \left(I_x\cos^2\omega t + I_y \sin\omega t\cos\omega t \right) \\
&= -(\omega_0-\omega) I_z - \omega_1\left(I_x + I_x\cos 2\omega t + I_y \sin 2\omega t\right)
\end{align}
となる。激しく振動する
\[I_x\cos 2\omega t + I_y \sin 2\omega t\]
の項を無視すると、回転波近似 (rotating wave approximation, RWA) 後のハミルトニアン
\[\tilde{H}_{\mathrm{RWA}}(t) = -(\omega_0-\omega) I_z -\omega_1 I_x \tag{7}\]
が得られる。もはや時間変化するものでもなくなったから、ここからは単に \(\tilde{H}_{\mathrm{RWA}}\) と書こう。
シュレディンガー方程式を解く
ここまで準備しておいて、
\[i\frac{d}{dt}\ket{\tilde{\psi}(t)} = \tilde{H}_{\mathrm{RWA}}\ket{\tilde{\psi}(t)} \tag{8}\]
を解く。とは言っても、ハミルトニアンを時間変化しない形に書き換えた事によってとても簡単に解けて、形式的には、
\[\ket{\tilde{\psi}(t)} = \exp\left(-i\tilde{H}_{\mathrm{RWA}} t\right)\ket{\tilde{\psi}(0)}\]
とできる。つまり、
\[\exp\left(-i\tilde{H}_{\mathrm{RWA}} t\right) = \exp\left(i((\omega_0-\omega) I_z +\omega_1 I_x) t\right)\]
が求まれば良い。これは、
公式
\[e^{i\theta (n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z)} = I \cos\frac{\theta}{2} + i2(n_x I_x + n_y I_y + n_z I_z) \sin\frac{\theta}{2}\]
を使えばすぐに求められる。(\(\b{n} = (n_x, n_y, n_z)\)は単位ベクトル。)
\(I_x, I_z\)についている係数を単位ベクトルにすればこの公式が使えるので、
\[\Omega = \sqrt{(\omega_0-\omega)^2 + \omega_1^2}\]
という量を定義して、以下のように使ってやる。
\begin{align}
\exp\left(-i\tilde{H}_{\mathrm{RWA}} t\right) &= \exp\left(i\Omega t \left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\right) \\
&= I \cos\frac{\Omega t}{2} + i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}
\end{align}
したがって、任意の時刻 \(t\) における状態は
\[\ket{\tilde{\psi}(t)} = \left[I \cos\frac{\Omega t}{2} + i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}\right]\ket{\tilde{\psi}(0)} \tag{9}\]
となる。これでラビ振動が解けたと言っても良いのだが、もう少しだけ。
具体的な時間発展
スピン状態を \(\ket{0},\ket{1}\) で展開して、具体的な時間発展を求めてみる。係数を \(\tilde{\alpha}(t)\), \(\tilde{\beta}(t)\) として、
\[\ket{\tilde{\psi}(t)} = \tilde{\alpha}(t)\ket{0} + \tilde{\beta}(t)\ket{1} \tag{10}\]
とする。\(\ket{0}\), \(\ket{1}\)を次のようなベクトルと対応付ければ、
\[\ket{0}\to\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),~\ket{1}\to\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\tag{11}\]
\(\ket{\tilde{\psi}(t)}\) は次のようにかける。
\[\ket{\tilde{\psi}(t)}\to\left(\begin{array}{c}\tilde{\alpha}(t)\\ \tilde{\beta}(t)\end{array}\right)\tag{12}\]
また、(4)のようなベクトル表示をすることにしたとき、スピン演算子は行列表示できて
\begin{align}
I_x&\to \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right),&
I_y&\to \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}\right),&
I_z&\to \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)
\end{align}
この行列表示を使えば、時間発展演算子は
\[
I \cos\frac{\Omega t}{2} + i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}
\to \\ \left(\begin{array}{cc}
\cos\frac{\Omega t}{2} + i\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin \frac{\Omega t}{2} & i\frac{\omega_1}{\Omega}\sin\frac{\Omega t}{2}\\
i\frac{\omega_1}{\Omega}\sin\frac{\Omega t}{2} & \cos\frac{\Omega t}{2} - i\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin \frac{\Omega t}{2}\end{array}\right)
\]
という行列に対応づく。
初期状態が
\[\tilde{\alpha}(0) = 1,~ \tilde{\beta}(0) = 0\]
つまり、\(\ket{\tilde{\psi}(0)} = \ket{0}\) であった場合を考えよう。このとき、
\begin{align}
\ket{\tilde{\psi}(t)} &= \left(\begin{array}{cc}
\cos\frac{\Omega t}{2} + i\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin \frac{\Omega t}{2} & i\frac{\omega_1}{\Omega}\sin\frac{\Omega t}{2}\\
i\frac{\omega_1}{\Omega}\sin\frac{\Omega t}{2} & \cos\frac{\Omega t}{2} - i\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin \frac{\Omega t}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\
&= \left(\begin{array}{c}\cos\frac{\Omega t}{2} + i\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin \frac{\Omega t}{2}\\ i\frac{\omega_1}{\Omega}\sin\frac{\Omega t}{2}\end{array}\right)\\\\
&= \left(\cos\frac{\Omega t}{2} + i\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin \frac{\Omega t}{2}\right) \ket{0} + i\frac{\omega_1}{\Omega}\sin\frac{\Omega t}{2} \ket{1}
\end{align}
となる。
まとめ
このページでは回転波近似を使ってラビ振動を解いた。振動磁場と同じ周波数の回転座標系に乗り。回転波近似を行った後のラビ振動のハミルトニアンは
\[\tilde{H}_{\mathrm{RWA}}(t) = -(\omega_0-\omega) I_z -\omega_1 I_x \]
であり、このハミルトニアンによる時間発展は、
\begin{align}
\exp\left(-i\tilde{H}_{\mathrm{RWA}} t\right) &= \exp\left(i\Omega t \left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\right) \\
&= I \cos\frac{\Omega t}{2} + i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}
\end{align}
という演算子を初期状態に作用させることで解析できる。ここで \(\Omega\) は
\[\Omega = \sqrt{(\omega_0-\omega)^2 + \omega_1^2}\]
であり、
ラビ周波数 と呼ばれる。特に振動磁場の周波数 \(\omega\) とラーモア周波数 \(\omega_0\) が一致して共鳴しているとき、\(\Omega = \omega_1\)と、振動磁場強度だけでラビ周波数が決まる。また、共鳴のときに限って \(\ket{0}\), \(\ket{1}\) の遷移が 100% 行われるようになる。\(|\alpha|^2, |\beta|^2\) のグラフを書いてみるとラビ振動の感じがつかめるだろう。