密度演算子のラビ振動
ラビ振動は量子制御でもっとも基本となる現象である。量子力学的な2準位系に、準位間のエネルギー差に相当する周波数で力を与えると、量子状態が2準位の間を行ったりきたりする現象をラビ振動と呼ぶ。このページでは、スピン量子数 1/2 のスピンが、静磁場下で振動磁場にさらされたときのラビ振動を密度演算子形式で説明する。
記号の準備
| x,y,z方向のスピン演算子 |
\(I_x, I_y, I_z\) |
| 恒等演算子 |
\(I\) |
| スピンの磁気回転比 |
\(\gamma\) |
| スピンの磁気モーメント |
\(\b{\mu} = \gamma\b{I}\) |
| 静磁場の大きさ |
\(B_0\) |
| スピンの共鳴周波数 |
\(\omega_0 = \gamma B_0\) |
| 振動磁場の振幅 |
\(B_1\) |
| 振動磁場の周波数 |
\(\omega\) |
| 振動磁場強度の周波数換算値 |
\(\omega_1 = \gamma B_1/2\) |
このサイトでは \(\hbar = 1\) とする単位系を採用し、\(I_x, I_y, I_z\) は固有値 \(\pm 1/2\) を持つ演算子とする。
回転座標系の密度演算子
状態ベクトル \(\ket{\psi(t)}\) を z 軸周りに\(\omega\)で回転する回転座標系 \(\ket{\tilde{\psi}(t)}\) に移らせるときには、
\[\ket{\tilde{\psi}(t)} = e^{-i\omega_{ref} I_z t}\ket{\psi(t)}\]
とした。一般に密度演算子は、適当な状態 \(\{\ket{\psi_i(t)}\}\) とそれぞれの割合 \(p_i\) を使って
\[\rho(t) = \sum_i p_i \ket{\psi_i(t)}\bra{\psi_i(t)}\]
と定義できる。そこで回転座標系の密度演算子は
\[\tilde{\rho}(t) = e^{-i\omega I_z t}\rho(t)e^{i\omega I_z t}\]
のように定義すれば良い。
回転波近似された回転座標系でのハミルトニアン
ラビ振動の記事で説明したように、静磁場が z 方向に、振動磁場を x 方向に与えたとき、量子系は実効的に
\[\tilde{H} = -(\omega_0-\omega) I_z -\omega_1 I_x \]
というハミルトニアンにしたがって運動する。
初期状態
通常、NMR/ESR (おそらく他の量子系も) では、初期状態として
\[H = \omega_0 I_z\]
に関する熱平衡状態
\[\tilde{\rho}(0) = \frac{1}{2}I + \epsilon I_z\]
が用意される。
ハミルトニアン下の運動
\(\tilde{\rho}(t)\) は
\[\tilde{\rho}(t) = \exp\left(-i\tilde{H}t\right)\tilde{\rho}(0)\exp\left(i\tilde{H}t\right)\]
と時間発展する。上の初期状態を代入すると
\[\tilde{\rho}(t) = \frac{1}{2}I + \epsilon\exp\left(-i\tilde{H}t\right)I_z\exp\left(i\tilde{H}t\right)\]
を得る。
結局、この系を調べるには、
\[\exp\left(-i\tilde{H}t\right)I_z\exp\left(i\tilde{H}t\right)\]
を計算できれば良さそうだ。ところで、時間発展演算子 \(\exp\left(-i\tilde{H}t\right)\) は、
ラビ振動の記事で説明したように、
\[\Omega = \sqrt{(\omega_0-\omega)^2 + \omega_1^2}\]
とすれば
\[\exp\left(-i\tilde{H} t\right) = I \cos\frac{\Omega t}{2} + i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}\]
とできた。これを代入して計算を続ける。
\begin{align}
&\exp\left(-i\tilde{H}t\right)I_z\exp\left(i\tilde{H}t\right) \\
&= \left[I \cos\frac{\Omega t}{2} + i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}\right] I_z \left[I \cos\frac{\Omega t}{2} - i2\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)\sin\frac{\Omega t}{2}\right]\\\\
&= I_z \cos^2 \frac{\Omega t}{2} + 4\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z + \frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right)I_z\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x\right) \sin^2\frac{\Omega t}{2} \\
&~~~~ +2i \left[\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_z +\frac{\omega_1}{\Omega} I_x, I_z\right] \cos\frac{\Omega t}{2}\sin\frac{\Omega t}{2}\\\\
&= I_z \cos^2 \frac{\Omega t}{2} + 4\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega}\right)^2 I_z + \frac{1}{4}\frac{\omega_1}{\Omega}\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} I_x - \frac{1}{4}\left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2 I_z\right) \sin^2\frac{\Omega t}{2} \\
&~~~~ +2 \frac{\omega_1}{\Omega} I_y \cos\frac{\Omega t}{2}\sin\frac{\Omega t}{2}\\\\
\end{align}
ここで変形には
\begin{align}
I_x I_z I_x &= -\frac{1}{4} I_z \\
I_z^2 &= \frac{1}{4}I \\
[I_x, I_z] &= -iI_y
\end{align}
を使った。最後にもう少し整理して、
\begin{align}
&\exp\left(-i\tilde{H}t\right)I_z\exp\left(i\tilde{H}t\right) \\
&= \left(\cos^2 \frac{\Omega t}{2} + \left(\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega}\right)^2 - \left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2\right)\sin^2\frac{\Omega t}{2} \right)I_z + 2 \frac{\omega_1}{\Omega} \cos\frac{\Omega t}{2}\sin\frac{\Omega t}{2} I_y + \frac{\omega_1}{\Omega}\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin^2\frac{\Omega t}{2} I_x \\\\
&= \cos\Omega t I_z + \frac{\omega_1}{\Omega} \sin\Omega t~I_y + \left(\left(\frac{\omega_0-\omega}{\Omega}\right)^2 - \left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2 + 1\right)\sin^2\frac{\Omega t}{2} I_z + \frac{\omega_1}{\Omega}\frac{\omega_0-\omega}{\Omega} \sin^2\frac{\Omega t}{2} I_x \\\\
\end{align}
を得る。
ラーモア周波数と振動磁場の周波数が一致する完全な共鳴 \(\omega = \omega_0\) では、最初の 2 項のみが残る。ラビ振動の記事のように状態ベクトル \(\ket{\psi(t)}\) で見るよりも、この形でみるたほうが \(\Omega\) が確かにラビ振動の周波数となっていて、ラビ周波数と呼ばれるべきものであることがわかりやすい。