パルスの位相制御による回転軸の調整
NMR/ESR (やその他の量子系) では、パルスの位相を適切に設定することで、スピンを様々な軸周りに回転させられる。このページではパルスの位相制御によるスピンの操作を説明する。
記号の準備
| x,y,z方向の角運動量演算子 |
\(I_x, I_y, I_z\) |
| スピンのラーモア周波数 |
\(\omega_0\) |
| 振動磁場の強度 |
\(\omega_1\) |
| 振動磁場の周波数 |
\(\omega\) |
位相付きの振動磁場
ラビ振動の記事では、z 方向に静磁場を、x 方向に振動磁場を与えた系を考え、
\[H(t) = -\omega_0 I_z - 2\omega_1 I_x\cos \omega t \]
というハミルトニアンを解いた。このハミルトニアンでは振動磁場の
位相は\(\cos\)で固定としていたが、通常の実験では、この振動磁場には任意の位相を設定することができて、
\[H(t) = -\omega_0 I_z - 2\omega_1 I_x\cos (\omega t + \phi) \tag{1}\]
のようなハミルトニアンを作り出すことができる。
位相による回転軸の調整
振動磁場の周波数 \(\omega\) の座標系に乗ったときのハミルトニアンは
\[\tilde{H}(t) = e^{-i\omega I_z t}H(t)e^{i\omega I_z t} + \omega I_z \tag{2}\]
だった。
ラビ振動参照。これを (1) 式のハミルトニアンについて、
角運動量演算子の回転公式 を使いながら計算すると、
\[\tilde{H}(t) = -(\omega_0-\omega) I_z -2\omega_1 \left(I_x\cos\omega t + I_y \sin\omega t\right)\cos(\omega t + \phi) \tag{3}\]
さらに回転波近似を行うために振動する項と振動しない項に分ける。
\begin{align}
&\tilde{H}(t) \\
&= -(\omega_0-\omega) I_z -2\omega_1 \left(I_x\cos\omega t\cos(\omega t + \phi) + I_y \sin\omega t\cos(\omega t + \phi)\right) \\
&= -(\omega_0-\omega) I_z -\omega_1 \left(I_x\left(\cos(2\omega t + \phi)+\cos\phi\right) + I_y \left(\sin(2\omega t + \phi) - \sin \phi\right)\right)
\end{align}
そうして回転波近似 (振動する項は平均化されると考えて無視する) を実行すれば
\[\tilde{H}_{\mathrm{RWA}}(t) = -(\omega_0-\omega) I_z -\omega_1 (\cos\phi I_x - \sin\phi I_y) \tag{3}\]
が得られる。
パルスの位相 \(\phi\) を変化させることによって、x 軸回転させるか、y 軸回転させるか、あるいはその中間の軸で回転させるか、自由自在に決められるわけだ。\(\phi = 0\) とすれば、ラビ振動の記事で扱ったように x 軸回転、\(\phi = \pi/2\) とすれば y 軸回転が実現できる。